Cour et Exercice Corrigés mathématique tronc commun bac international-mathsbiof دروس و تمارين الرياضيات الجدع مشترك علمي بالغرنسية

 Ce cour est pour les prof des maths et pour les élèves de 1er année bac 1bac Maroc biof contient définition des suites numérique et les deux cas particuliers c.à.d. les suites arithmétiques et les suites géométriques avec des application simples et deux exercices simple pour bien comprendre. 

I) Généralité :

I- Les  suite numérique : définition et nombre de termes consécutifs .

I-1) définition :

Soit 𝐼 une partie de ℕ. Une suite numérique 𝑢 est une fonction de 𝐼 dans ℝ. On note l’image d’un nombre 𝑛 par 𝑢𝑛 et on note la suite 𝑢 par (𝑢𝑛)𝑛∈𝐼.

Exemple 01 :

On considère la suite (𝑢𝑛)𝑛∈ℕ définie par : (∀𝑛∈ℕ): 𝑢𝑛=3𝑛+1.

• 𝑢0=.................................................................

• 𝑢3=.................................................................

• 𝑢7=.................................................................

Exemple 02 :

On considère la suite (𝑢𝑛)𝑛∈ℕ définie par : 

{𝑢0=2𝑢    

{𝑛+1=2𝑢𝑛−1.

• 𝑢1=.................................................................

• 𝑢2=.................................................................

• 𝑢3=.................................................................

I-2) nombre de terme consécutifs d'une suite  numérique :

propriété :

Soit (𝑢𝑛)𝑛∈ℕ une suite numérique. Le nombre des termes consécutifs 𝑢𝑝,𝑢𝑝+1,...,𝑢𝑛 tel que (𝑝≺𝑛) est : 𝑛-𝑝+1.

Exemple :

Le nombre des termes consécutifs de 𝑢4 à 𝑢44 est : 44−4+1=41.

II) suite arithmétique : définition ,terme général et exemples et terme général sommes des termes consécutifs.

1) définition : suites arithmétiques :

Soient (𝑢𝑛) une suite numérique et 𝑟 un nombre réel. On dit que (𝑢𝑛) est une suite arithmétique si et seulement si (∀𝑛∈𝐼):𝑢𝑛+1−𝑢𝑛 =𝑟. 

• Ce nombre 𝑟 est appelé la raison de cette suite arithmétique (𝑢𝑛).

2) Exemple 1-2-3 suites arithmétique :

Exemple 01 : Vérifions si la suite (𝑢𝑛) définie par : (∀𝑛∈ℕ): 𝑢𝑛=2𝑛+3 est arithmétique.

Exemple 02 : Vérifions si que la suite (𝑢𝑛) définie par : (∀𝑛∈ℕ): 𝑢𝑛=−32𝑛+1 est arithmétique.

Exemple 03 :Vérifions si la suite (𝑢𝑛) définie par : (∀𝑛∈ℕ): 𝑢𝑛=2𝑛 est arithmétique.

2) Terme général d'une suite arithmétique :

propriété :

Soit (𝑢𝑛) 𝑛∈𝐼 une suite arithmétique de raison 𝑟 et de premier terme 𝑢𝑝 . Le terme général de la suite (𝑢𝑛) est : (∀𝑛∈𝐼):𝑢𝑛=𝑢𝑝+(𝑛−𝑝)×𝑟.

Remarque :  Si le premier terme d’une suite arithmétique est 𝑢0, alors le terme général de la suite (𝑢𝑛) est : (∀𝑛∈ℕ):𝑢𝑛=𝑢0+𝑛×𝑟

Exemple 01 : Soit (𝑢𝑛)𝑛∈ℕ une suite arithmétique de raison 𝑟=12 telle que 𝑢2=4. Déterminons le terme général de la suite (𝑢𝑛)𝑛∈ℕ.

Exemple 02 :Soit (𝑢𝑛)𝑛∈ℕ une suite arithmétique tel que 𝑢0=−2 et 𝑢4=7. Déterminons la raison de la suite (𝑢𝑛)𝑛∈ℕ.

3) La somme (addition de plusieurs termes ) des terme successifs c.à.d consécutifs d'une suite arithmétique  :

propriété : Soit (𝑢𝑛) une suite arithmétique et soit la somme : 𝑆=𝑢𝑝+𝑢𝑝+1+...+𝑢𝑛 .

On a : 𝑆=(𝑛-𝑝+1)×(𝑢𝑝+𝑢𝑛2) .

Exemple : Soit (𝑢𝑛) une suite arithmétique tel que 𝑢1=−1 et 𝑢10=28. On a : 𝑆=𝑢1+𝑢2+...+𝑢10

Application :

On considère la suite (𝑢𝑛)𝑛∈ℕ définie par : (∀𝑛∈ℕ): 𝑢𝑛=4𝑛+15 

1) Montrer que (𝑢𝑛)𝑛∈ℕest une suite arithmétique.

2) Est-ce-que 2021 est un terme de la suite (𝑢𝑛)𝑛∈ℕ? 

3) Calculer  𝑆 = 𝑢0+𝑢1+........+𝑢20.

III) Suite géométrique : définition et terme générale et somme des termes consécutifs .

1) Définition : Les suites géométriques

 Soient (𝑢𝑛) une suite numérique et 𝑞 un nombre réel. On dit que (𝑢𝑛) est une suite géométrique si et seulement si (∀𝑛∈𝐼):𝑢𝑛+1=𝑞𝑢𝑛. 

• Ce nombre 𝑞 est appelé la raison de Cette suite géométrique (𝑢𝑛). 

Exemple 01 :

Vérifions si la suite (𝑢𝑛) définie par : (∀𝑛∈ℕ): 𝑢𝑛=2𝑛 est géométrique.

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Exemple 02 :

Vérifions si que la suite (𝑢𝑛) définie par : (∀𝑛∈ℕ): 𝑢𝑛=4×32𝑛+1 est géométrique.

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Exemple 03 :

Vérifions si que la suite (𝑢𝑛) définie par : {𝑢0=2𝑢𝑛+1=4𝑢𝑛;𝑛∈ℕ est géométrique.

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2) Le Terme général d'une suite géométrique :

Soit (𝑢𝑛)𝑛∈𝐼 une suite géométrique de raison 𝑞 et de premier terme 𝑢𝑝 . Le terme général de la suite (𝑢𝑛) est : (∀𝑛∈𝐼):𝑢𝑛=𝑢𝑝×𝑞𝑛−𝑝.

Remarque :

Si le premier terme d’une suite géométrique est 𝑢0, 

alors le terme général de la suite (𝑢𝑛) est : (∀𝑛∈ℕ):𝑢𝑛=𝑢0×𝑞𝑛 Soit (𝑢𝑛)𝑛∈ℕ une suite géométrique de raison 𝑞=2 tel que 𝑢1=4. 

Déterminons le terme général de la suite (𝑢𝑛)𝑛∈ℕ.

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3) La somme (addition de plusieurs termes ) des terme successifs c.à.d consécutifs d'une suite géométrique :

Soit (𝑢𝑛) une suite géométrique de raison 𝑞 tel que 𝑞≠1 et soit la somme 𝑆=𝑢𝑝+𝑢𝑝+1+...+𝑢𝑛 . 

On a : 𝑆=𝑢𝑝×(1−𝑞𝑛−𝑝+11−𝑞). 

Application :

Soit (𝑣𝑛) une suite numérique définie par : (∀𝑛∈ℕ):𝑣𝑛 = 3n/2. 

1) Calculer 𝑣0 et 𝑣8. 

2) Montrer que (𝑣𝑛) est une suite géométrique de raison 3. 

3) Calculer : 𝑆=𝑣0+𝑣1+...+𝑣8.

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Exercices d'application simples sur les suites numériques ( Deux  exercices )

Exercice 01 :

On considère (𝑢𝑛)𝑛∈ℕ une suite arithmétique de raison 𝑟=3 telle que 𝑢0=12 . 

1) Calculer 𝑢1 et 𝑢10. 

2) Ecrire 𝑢𝑛 en fonction de 𝑛. 

3) Vérifier que 3012 est un terme de la suite (𝑢𝑛)𝑛∈ℕ. 

4) Calculer la somme suivante : 𝑆=𝑢0+𝑢1+...+𝑢50

Exercice 02 :

On considère la suite (𝑢𝑛) 𝑛∈ℕ définie par : (∀𝑛∈ℕ):𝑢𝑛=−3×2𝑛 . 

1) Calculer 𝑢0 et 𝑢10. 

2) Montrer que (𝑢𝑛)𝑛∈ℕ est une suite géométrique en déterminant sa raison.

3) Calculer la somme suivante : 𝑆=𝑢0+𝑢1...+𝑢10.               .

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