cours de la continuité pour 2BAC SVT et 2BAC PC

I. La continuité 1) La continuité en un point "Activités et cours et exemples.
Activité :
Soit f et g les fonctions définies sur DfetDg par :
{f(x)=x2−1x−1;x≠1f(1)=2et{g(x)=x2+xx;x≠1g(0)=0
- Calculer limx→1f(x) puis comparer le résultat avec f(1) .
- Calculer limx→0g(x) puis comparer le résultat avec g(0) .
- Que
déduisez-vous ?
Définition :
Soit |
Exemple :
Soif
Etudier la continuité de h au point d’abscisse x0=0.
Exercice d’application :
Soit
{f(x)=cosx−xsin(3x)−1x2;x≠0f(0)=−72
- Etudier la continuité de f au point d’abscisse x0=0.
2. La continuité à droite x0+ d'une fonction et sa continuité à gauche x0− en un point donné x0 :
Définition :
Soit § On dit que Soit § On dit que " x0+ signifie que x> x0 et x0− signifie que x< x0 "
|
Exemple :
Soit g la fonction numérique définie sur R
{g(x)=x2+1six⩾1g(x)=x+1x−1si0<x<1g(x)=x+1six⩽0
Etudier la continuité de la fonction g à droite en 1 et à gauche en 0.
L’interprétation géométrique :


Propriété :
Soit f La fonction c-à-d : limx→x0+f(x)=f(x0)etlimx→x0−f(x)=f(x0)⇔limx→x0f(x)=f(x0) . |
Exercices d'applications : "sur La continuité en x0, x0et x0 (trois exercices) "
Exercice d’application 01 :
Soit f la fonction numérique définie par :
{f(x)=|x|x;;x≠0f(0)=−1
- Etudier la continuité de f en 0.
- Tracer la courbe de la fonction f dans un repère orthonormé.
Exercice d’application 02:
Soit f la fonction numérique définie par :
{f(x)=√1+sinx−1x;;x<0f(0)=√1+x−12;;x⩾0
Etudier la continuité de la fonction f en 0.
Exercice d’application 03:
Soient aetb deux nombres réelles non nuls et
{f(x)=ax+5b−a;x>0f(0)=sinaxbx;x<0f(0)=4
- Déterminer aetb sachant que la fonction f est continue en 0.
3. La continuité sur un intervalle.
Définition :
La fonction f est continue sur l’intervalle ouvert ]a;b[ , si f est continue en tout points de ]a;b[ . La fonction f est continue sur l’intervalle [a;b[ ,si f est continue sur l’intervalle ]a;b[ et continue à droite en α. |
Remarque :
De même, on définit la continuité de sur les intervalles du type :
]a;b],[a;b],]a;+∞[ ,[a;+∞[,]−∞;b[,]−∞;b]
Géométriquement : si f est continue sur l’intervalle [a;b] , on peut tracer la courbe (C) sans lever le crayon.
Si f est continue sur un intervalle I , alors f est continue sur tout intervalle inclus dans I .
4. Fonction partie entière définition + Exemple pour comprendre.
Définition :
La fonction partie entière est la fonction définie sur |
Exemples :
E(2,3)=2;E(5,1)=5;E(−7,5)=−8;E(−17,2)=−18;E(10)=10
Conséquences :
Soit
|
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