Cour et Exercice Corrigés mathématique tronc commun bac international-mathsbiof دروس و تمارين الرياضيات الجدع مشترك علمي بالغرنسية

Exercices sur Les suites numériques 2bac fr

Ces exercices sont pour 2bac science expérimentales 2bac biof -2bac pc et 2bac svt

Exercice 01: $u_0=7 \;et \; u_{n+1}=\frac{3}{4}u_n +\frac{5}{4}$

On considère la suite numérique $(u_n )$ définie par :

$u_0=7   \;et \; u_{n+1}=\frac{3}{4}u_n +\frac{5}{4}$ pour tout entier naturel $n$

1. a) Montrer par récurrence que  $u_n>5$ pour tout entier naturel  $n$
   b)  Vérifier que $u_{n+1}-u_n=\frac{-1}{4}(u_n-5)$  pour tout entier naturel $n$  puis montrer que la suite  $(u_n )$ est décroissante.
   
   c) En déduire que la suite  $(u_n )$ est convergente.
2. Soit $(v_n )$ la suite numérique telle que :      $v_n=u_n-5$ pour tout entier naturel $n$
   a) Montrer que $(v_n )$  est une suite géométrique de raison $\frac{3}{4}$ puis écrire $(v_n )$ en fonction de $n$ 
   b)Montrer que $u_n = 5+2{(\frac{3}{4})}^n$ pour tout entier naturel $n$, puis déterminer la limite de la suite $n$ 
   c)Déduire la limite de la suite (w_n ) définie par: $w_n = ln⁡(u_n-4)$ pour tout entier naturel  $n$
3. Déterminer la plus petite valeur de l’entier naturel $n$ pour laquelle $u_n<5,001$

Exercice 02:  $u_0=2\; et  \; u_{n+1}=\frac{8u_n+3}{u_n+6}$

On considère la suite numérique $u_n$ définie par :

   $u_0=2$ et  $u_{n+1}=\frac{8u_n+3}{u_n+6}$  pour tout $n \in \mathbb{N}$

1. a) Montrer par récurrence que $1<u_n<3$ pour tout $n \in \mathbb{N}$   
   b) Vérifier que $u_{n+1}-u_n=\frac{(1+u_n )(3-u_n )}{6+u_n }$  pour tout  $n \in \mathbb{N}$, puis montrer que la suite  $u_n$ est croissante 
   c) En déduire que la suite  $u_n$ est convergente.
2. Soit $v_n$la suite numérique telle que :     $v_n=\frac{ u_n -3 }{ u_n +1}$ pour tout  $n \in \mathbb{N}$
   a) Montrer que $v_n$ est une suite géométrique de raison $\frac{5}{9}$ puis écrire $v_n$ en fonction de $n$
   b) Montrer que $u_n = \frac{3-\frac{1}{3}(\frac{5}{9})^n}{3+\frac{1}{3}(\frac{5}{9})^n}$ pour tout n de  IN , puis déterminer la limite de la suite $u_n$
   c) Déduire la limite de la suite {w_n } définie par:  $w_n = (u_n-2)e^{u_n }$ pour tout n de  IN
3. a) Montrer que $3-u_{n+1} < \frac{5}{7}(3-u_n)$ pour tout $n \in \mathbb{N}$  
   b) En déduire que  $0 < 3-u_n < {(\frac{5}{7})}^{n}$ pour tout $n$  de  $\mathbb{N}$ 
   c)  Retrouver la limite de la suite $u_n$

Exercice 03: EXERCICE DE SYNTHÈSE  \(partie 1: \;f(x) = x ln⁡( x+1)\;partie 2:\; $u_{n+1} = u_n ln⁡( u_n+1)$ \)

On considère la fonction numérique f définie sur $[0,+∞[$ par :  $f(x) = x ln⁡( x+1)$
Partie I :
Déterminer $f'(x)$ , pour tout  $x$ de $[0,+∞[$ puis déduire que f est croissante sur $[0,+∞[$
Étudier la continuité de f sur $[0,+∞[$
Déterminer $f([0,e-1])$
Montrer que f(x)≤x, pour tout x de  $[0,+∞[$
Partie II :
Soit $u_n$ la suite numérique définie par :  $u_0=1$   et  $u_{n+1} = u_n ln⁡( u_n+1)$ pour tout n de IN
Montrer par récurrence que $0 ≤ u_n ≤ e-1$  pour tout   $n \in \mathbb{N}$
Montrer que la suite $u_n$ est décroissante et en déduire qu’elle est convergente.
Déterminer la limite de la suite $u_n$
Question :
On considère la suite $u_n$ définie par : $u_n = \frac{7^n+3^n}{7^n-3^n }$ pour tout entier naturel $n$
Déterminer la limite de la suite $u_n$

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