Cour et Exercice Corrigés mathématique tronc commun bac international-mathsbiof دروس و تمارين الرياضيات الجدع مشترك علمي بالغرنسية

Cette série d'exercices est pour les élèves de 2bac international option PC et option SVT sur les fonction logarithmes elle contient 3 exercices très importantes pour préparer a l'examen national .

Exercice  01 :  Ensemble de définition ,limite en \(+ \infty \) ,calcule \( f'(x) \),calcule de fonction réciproque, construction de \( C_f\) et \( C_{f^{-1}}\)  dans un repère \((O;\vec{i};\vec{j})\).

Soit f la fonction num´erique d´efinie par : \( \left\{\begin{matrix}f(x)= \frac{x ln (x)}{1 + ln x}\; ;x>0 & \\ f(0) = 0 & \end{matrix}\right.\)

• 1) Montrer que: \(D_f = [0, e^{−1 }[∪]e^{−1 } , +∞[\).
• Calculer les limites de \(f\) aux bornes \(D_f\) .
• 2) Etudier la continuit´e de f `a droite en 0.
• 3) Calculer \(\lim_{x_\rightarrow +\infty}\frac{f(x)}{x}\)
• , puis interpréter le résultat trigonométriquement.
• 4) Etudier les branches infinies de \((C_f )\).
• 5) Montrer que: \( ∀x ∈D_f ; f '(x)=\frac{ln²(x) + ln(x) + 1}{(1 + ln(x))^{2}}\)
• Donner le tableau de variations de f.
• 6) a) Démontrer que: \( ∀x ∈D_f ; f "(x)=\frac{ln²(x)-1}{x(1 + ln(x))^{2}}\) ainsi déterminer ses points d’inflexion.
• b) Construire la courbe \((C_f )\) dans un repère orthonormé \((O;\vec{i};\vec{j})\) .
• 7) Soit \( g \) la restriction de \( f \) sur l’intervalle \(I =]\frac{1}{e},+∞ [.\)
• a) Montrer que g possède une fonction réciproque \( g^{−1} \) définie sur un intervalle \( J \) que l’on précisera .
• b) Calculer la valeur de \( (g^{−1})'(\frac{e}{2}). \)
• c) Construire la courbe \((C_{g^{−1}})\) dans le même repère avec une autre couleur .

Exercice  02  : Ensemble de définition ,limite en \(+ \infty \) de \( f \)  ,calcule \( f'(x) \),équation de la tangente à \( C_f\) dans un repère \((O;\vec{i};\vec{j})\) et suite de  récurrence et limite d'une suite \( U_n \) en \( +\infty \).

I- On considère la fonction g définie sur [0, +∞[ par:
\( g(x) = ln( 1 +\frac{1}{x})− \frac{1}{1+x} \)

• 1) Calculer \(g'(x)\), puis étudier les variations de \( g \).
• 2) Déduire le signe de g(x) sur \({\mathbb{R}^∗}_{+}\)

II- Soit f la fonction numérique définie par:
\( \left\{\begin{matrix}f(x)= xln (1+\frac{1}{x}) \; ;\; x>0 & \\ f(0) = 0 & \end{matrix}\right.\)

• 1) Montrer que f est continue à droite de 0.
• 2) Etudier la dérivabilité de f `a droite en 0. Interpréter géométriquement le résultat obtenu.
• 3) a) Montrer que: \( \lim_{x_\rightarrow +\infty}f(x)=1. \)
•     b) Etudier les branches infinies pour la courbe \( (C_f ). \)
• 
  
• 4) a) Démontrer que pour tout x de \( ]0, +∞[: f '(x) = g(x) \) .
• 4) b) Donner  le tableau de variations de \( f. \)
• 5) Donner l’équation de la tangente de \( (Cf ) \) au point d’abscisse
• \( x_0 = \frac{1}{1 − e}. \)
• 6) Construire la courbe \( (Cf ) \) dans un repère orthonormé \((O;\vec{i};\vec{j})\).

III- On considère la suite numérique \( (u_n) _{n≥0}\) définie par:
\[ \left\{\begin{matrix}0 < u_0 ≤ \frac{1}{e-1}& \\ u_{n+1}=f(u_n) \;,\;n∈\mathbb{N} &\end{matrix}\right.\]

• 1) Montrer que: \( ∀n ∈\mathbb{N} \;; \;0 ≤ u_n ≤ \frac{1}{e-1} \)
• 2) Démontrer que \( (u_n) \) est convergente, puis calculer \( \lim_{n_\rightarrow +\infty}u_n\)

Exercice  03  : Ensemble de définition ,limite en \(+ \infty \) de \( f \)  ,étude des branche infinies d'une fonction ,tableau de variation ,calcule \( f'(x) \),équation de la tangente à \( C_f\) dans un repère \((O;\vec{i};\vec{j})\) et suite de  récurrence et limite d'une suite \( U_n \) en \( +\infty \).

Soit f la fonction de la variable r´eelle x d´efinie par : 

\[ f(x) = x^2 − 2x − 1 − ln(x − 1)² \]

• 1) a) Déterminer \( D_f \) l’ensemble de définition de la fonction \( f \) .
• b) Montrer que : \( \lim_{x_\rightarrow +\infty}f(x)=+\infty \).
• c) Etudier les branches infinies pour la courbe \((C_f ) \).
• 2) Montrer que la droite  \( (\Delta ) \) d’équation \( x = 1 \) est un axe de symétrie de la courbe \((C_f ) \).
• 3) Montrer que : \( (∀x ∈ D_f ); f ' (x) = \frac{2x(x − 2) }{x − 1}.\)
• 4) Etudier le signe de \(f '(x) \), puis dresser le tableau de variations de \(f .\)
• 5) Donner que l’équation de la tangente de \((C_f ) \) au point d’abscisse \( a = 3 \)  .
• 6) Construire la courbe \( (C_f ) \) dans un repère orthonormé \((O;\vec{i};\vec{j})\) . 
• \[ Indication :\; (f(\frac{3}{5}) = f(\frac{7}{5}) = 0 \] .

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