Cour et Exercice Corrigés mathématique tronc commun bac international-mathsbiof دروس و تمارين الرياضيات الجدع مشترك علمي بالغرنسية

Cette série d'exercices est pour les élèves de 2bac international option PC et option SVT sur les fonction logarithmes elle contient 3 exercices très importantes pour préparer a l'examen national .

Exercice  01 :  Ensemble de définition ,limite en $+ \infty$ ,calcule $f'(x)$,calcule de fonction réciproque, construction de $C_f$ et $C_{f^{-1}}$  dans un repère $(O;\vec{i};\vec{j})$.

Soit f la fonction num´erique d´efinie par : $\left\{\begin{matrix}f(x)= \frac{x ln (x)}{1 + ln x}\; ;x>0 & \\ f(0) = 0 & \end{matrix}\right.$

• 1) Montrer que: $D_f = [0, e^{−1 }[∪]e^{−1 } , +∞[$.
• Calculer les limites de $f$ aux bornes $D_f$ .
• 2) Etudier la continuit´e de f `a droite en 0.
• 3) Calculer $\lim_{x_\rightarrow +\infty}\frac{f(x)}{x}$
• , puis interpréter le résultat trigonométriquement.
• 4) Etudier les branches infinies de $(C_f )$.
• 5) Montrer que: $∀x ∈D_f ; f '(x)=\frac{ln²(x) + ln(x) + 1}{(1 + ln(x))^{2}}$
• Donner le tableau de variations de f.
• 6) a) Démontrer que: $∀x ∈D_f ; f "(x)=\frac{ln²(x)-1}{x(1 + ln(x))^{2}}$ ainsi déterminer ses points d’inflexion.
• b) Construire la courbe $(C_f )$ dans un repère orthonormé $(O;\vec{i};\vec{j})$ .
• 7) Soit $g$ la restriction de $f$ sur l’intervalle $I =]\frac{1}{e},+∞ [.$
• a) Montrer que g possède une fonction réciproque $g^{−1}$ définie sur un intervalle $J$ que l’on précisera .
• b) Calculer la valeur de $(g^{−1})'(\frac{e}{2}).$
• c) Construire la courbe $(C_{g^{−1}})$ dans le même repère avec une autre couleur .

Exercice  02  : Ensemble de définition ,limite en $+ \infty$ de $f$  ,calcule $f'(x)$,équation de la tangente à $C_f$ dans un repère $(O;\vec{i};\vec{j})$ et suite de  récurrence et limite d'une suite $U_n$ en $+\infty$.

I- On considère la fonction g définie sur [0, +∞[ par:
$g(x) = ln( 1 +\frac{1}{x})− \frac{1}{1+x}$

• 1) Calculer $g'(x)$, puis étudier les variations de $g$.
• 2) Déduire le signe de g(x) sur ${\mathbb{R}^∗}_{+}$

II- Soit f la fonction numérique définie par:
$\left\{\begin{matrix}f(x)= xln (1+\frac{1}{x}) \; ;\; x>0 & \\ f(0) = 0 & \end{matrix}\right.$

• 1) Montrer que f est continue à droite de 0.
• 2) Etudier la dérivabilité de f `a droite en 0. Interpréter géométriquement le résultat obtenu.
• 3) a) Montrer que: $\lim_{x_\rightarrow +\infty}f(x)=1.$
•     b) Etudier les branches infinies pour la courbe $(C_f ).$
• 
  
• 4) a) Démontrer que pour tout x de $]0, +∞[: f '(x) = g(x)$ .
• 4) b) Donner  le tableau de variations de $f.$
• 5) Donner l’équation de la tangente de $(Cf )$ au point d’abscisse
• $x_0 = \frac{1}{1 − e}.$
• 6) Construire la courbe $(Cf )$ dans un repère orthonormé $(O;\vec{i};\vec{j})$.

III- On considère la suite numérique $(u_n) _{n≥0}$ définie par:
$$\left\{\begin{matrix}0 < u_0 ≤ \frac{1}{e-1}& \\ u_{n+1}=f(u_n) \;,\;n∈\mathbb{N} &\end{matrix}\right.$$

• 1) Montrer que: $∀n ∈\mathbb{N} \;; \;0 ≤ u_n ≤ \frac{1}{e-1}$
• 2) Démontrer que $(u_n)$ est convergente, puis calculer $\lim_{n_\rightarrow +\infty}u_n$

Exercice  03  : Ensemble de définition ,limite en $+ \infty$ de $f$  ,étude des branche infinies d'une fonction ,tableau de variation ,calcule $f'(x)$,équation de la tangente à $C_f$ dans un repère $(O;\vec{i};\vec{j})$ et suite de  récurrence et limite d'une suite $U_n$ en $+\infty$.

Soit f la fonction de la variable r´eelle x d´efinie par : 

$$f(x) = x^2 − 2x − 1 − ln(x − 1)²$$

• 1) a) Déterminer $D_f$ l’ensemble de définition de la fonction $f$ .
• b) Montrer que : $\lim_{x_\rightarrow +\infty}f(x)=+\infty$.
• c) Etudier les branches infinies pour la courbe $(C_f )$.
• 2) Montrer que la droite  $(\Delta )$ d’équation $x = 1$ est un axe de symétrie de la courbe $(C_f )$.
• 3) Montrer que : $(∀x ∈ D_f ); f ' (x) = \frac{2x(x − 2) }{x − 1}.$
• 4) Etudier le signe de $f '(x)$, puis dresser le tableau de variations de $f .$
• 5) Donner que l’équation de la tangente de $(C_f )$ au point d’abscisse $a = 3$  .
• 6) Construire la courbe $(C_f )$ dans un repère orthonormé $(O;\vec{i};\vec{j})$ . 
• $$Indication :\; (f(\frac{3}{5}) = f(\frac{7}{5}) = 0$$ .

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