Cour et Exercice Corrigés mathématique tronc commun bac international-mathsbiof دروس و تمارين الرياضيات الجدع مشترك علمي بالغرنسية

Exercices sur les nombres complexes Partie 1 2bac pc et 2bac svt

Exercice 1 :  Formes algébrique ,trigonométrique ,conjugué,point alignés .....

(Questions indépendantes)

1. Écrire sous la forme algébrique les nombres suivants : \[Z_1 = (3 - 5i) + i(2 - i) \; et \; Z_2 =\frac{2 + i}{3i - 1}\]
2. Déterminer la partie réelle et la partie imaginaire de chacun des nombres suivants :    \[ A = 3i - 5 \;;\; B = 4i + 2 - i\sqrt{2}\]
3. Développer : \(Z_2 = (4 - i)² + (-2 + 3i)² \)
4. Déterminer le conjugué du nombre : \(Z_3 = -8i - 1\)
5. Résoudre dans \mathbb{C} l’équation \((2 - i)\bar{Z}) = 2 + 3i\).
6. Calculer le module de chacun des nombres suivants : \[A = 2 - i\sqrt{3} \;;\; B = 5 - i\sqrt{3} \;;\; C = -317 \;;\; D = -25i^{35}\]
7. Soit \(x\in \mathbb{R}\) . Déterminer \(x\) pour que ce nombre soit un réel : \[Z = (x + i)[x + 5 - i(x - 7)]\]
8. Montrer que les points \(A(6 - i)\;,\; B(-6 + 3i)\;et\; C(-18 + 7i) \;sont\; alignés\) .
9. Montrer que les points \(A(1 + i)\;,\; B(3 - i)\;et\;C(4 - 2i) \;sont\; alignés\) .
   Montrer que les points suivants sont cocycliques : \[A(1 - 3i) \;,\; B(-1 + i) \;,\;C(2) \;et\; D(-2)\]
10. Montrer que les points suivants sont cocycliques. \[A(3 + 4i) \;,\; B(2 + i) \;,\; C(5 + 4i) \;et\; D(6 + 3i)\]
11. Résoudre dans C l’équation : \(2Z + i\bar{Z} = 5 - 4i\)
12. Dans le plan complexe ; on considère \[A(4\sqrt{3}+ 4i)\; et\; B(4\sqrt{3}- 4i)\] a) Donner la forme trigonométrique de \[Z_A \;et\; Z_B\] b) Calculer les distances OA et OB et AB Quelle est la nature du triangle ABO .
13. On considère les trois nombres complexes 

\[Z_1=1+ i \;et\; Z_2=\sqrt{3}+i \;et\; Z=\frac{Z_1}{Z_2}\]

• a) Écrire sous la forme trigonométrique \(Z_1\) et \(Z_2 \;et\; Z\) .
• b) Déduire la valeur de \(\cos(\frac{\pi}{12})\;et\;\sin(\frac{\pi}{12})\)

Exercice 2 :forme algébrique et forme trigonométrique des nombres complexes

1. Donner la forme algébrique les nombres complexes suivants \(Z_1\; ,\; Z_2\;et\; Z_3 \)\[Z_1 = (2 - i)(4 +\frac{3}{2}i)\; ;\; Z_2 =\frac{2}{3 + 2i} \\ Z_3 =\frac{3 - 2i}{2 + i} \;et\;Z_4 =\frac{2i}{3 - i}+\frac{(1 - 2i)²}{i}\]
2. Donner la forme trigonométrique les nombres complexes suivants \(Z_1\; ,\; Z_2\;et\; Z_3 \)   :\[Z_1 = -1 - i\sqrt{3} \;et\; Z_2 = -3 + 3i \\ Z_3 = 2\sqrt{3} - 2i \;et\; Z_4 = 2 + 2i\]

Exercice 3 : polynômes dans l'ensemble \( \mathbb{C} \)

Soit dans C le polynôme : \(P(Z) = -Z^3 + 3Z^2 - 7Z + 5\) .
1. Prouver que \(\bar{P(Z)} = p(\bar{Z})\)
2. Vérifier que \(1 + 2i\)  est une racine de \(P(Z)\) puis déduire une autre racine.

Exercice 4 : Ensemble des points dans \( \mathbb{C} \)

Soit \(Z_2\in\mathbb{C}\) Déterminer l’ensemble de points \(M(Z)\) du plan complexe tels que \(\frac{Z- i }{Z + 1}\in\mathbb{R}\).

Exercice 5 : triangles et mesure dans \( \mathbb{C} \) 

Soient \(Z_1 =\sqrt{3} + i \;et\; Z_2 = -2i\)

1. Écrire \(Z_1\;et\;Z_2\) sous la forme trigonométrique.
2. Calculer \((Z_2)^{18} \;et\; (Z_1)^{18}\) puis déduire la valeur de : \((Z_2)^{18} + (Z_1)^{18}\).
3. Soit le plan complexe rapporté à un repère orthonormé \( (O;\vec{u};\vec{u}) \)
4. on considère les points \( A(Z_1) \;et\; B(Z_2) \) .

• a) Montrer que le triangle \(OAB\) est isocèle.
• b) Déterminer une mesure de \((\vec{OA};\vec{OB})\) .

Exercice 6 : Application forme trigonométrique ,argument dans \( \mathbb{C} \) 

1. Développer :\( (\sqrt{2} + 2i)² \)
2. Déterminer la forme trigonométrique de \(Z_1 = 1 - i\).
3. Soit \(Z_2 = 1 +\sqrt{2} + i \) montrer que :\(Z_1.Z_2 =\sqrt{2}.\bar{Z_2}\)
4. Déduire que : \(arg(Z_1) + 2arg(Z_2)\equiv[2\pi ]\)
5. Déterminer un argument du nombre\( Z_2\)

Exercice 7 : forme trigonométrique  et nature triangle . 

1. Soit \(Z_1 =\sqrt{3}+1+i(\sqrt{3}-1) \;et\; Z_2 =\sqrt{3}-1+i(\sqrt{3}+1)\)
Montrer que : \(Z_1^{2} = 4(\sqrt{3} + i)\; et \;que \;Z_2 = i\bar{Z_1}\)
2. a) Écrire sous la forme trigonométrique : 4(\sqrt{3} + i)
b) Déduire la forme trigonométrique de : \(Z_1 \;et\; Z_2\) .
3. On considère les points \(A(Z_1)\; et \; B(Z_2)\)
Calculer \(arg(\frac{Z_1}{Z_2})\)
déduire que le triangle \(OAB\) est équilatéral.

Exercice 8 : Ensemble des ponits et nature triangle .

Soient A ; B ; C quatre points du plan complexe : d’affixes respectifs\[ Z_A = 1 ; Z_B = -\frac{1}{2}+\frac{i\sqrt{3}}{2}; Z_C =  -\frac{1}{2}-\frac{i\sqrt{3}}{2}\]

1. Déterminer une mesure de l’angle \(\widehat{\vec{AB};\vec{AC}}\) , Quelle est la nature du triangle \(ABC\) ? Justifier votre réponse.

2. Déterminer l’ensemble des points \(Mr(Z)\) tels que : \(|Z_M - Z_C|= |Z_M - Z_B|\).

Exercice 9 : argument de \(\frac{Z_1}{Z_2} \)

Soient : \(Z_0 = 1 - i \)

\(Z_1= \frac{\sqrt{3}+1}{2}+i\frac{\sqrt{3}-1}{2}\;et\;Z_2= \frac{\sqrt{3}-1}{2}+i\frac{\sqrt{3}+1}{2}\)

1. Montrer que : \[ \frac{Z_2}{Z_0} = -\frac{1}{2}+ i\frac{\sqrt{3}}{2} \;et \;que\; :\; Z_1 = i\bar{Z_2}\]
2. Déterminer un argument de  \(\frac{Z_2}{Z_0}\)  puis déduire un argument de  \(Z_1\)  et un argument de  \(Z_2\)  .

Exercice 10 : formes algébrique ,trigonométrique et ensemble des points

Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé, on considère les points :
\[ M(Z);C(-1);D(\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i);E(-1 - i\sqrt{3})\]
1. Déterminer la forme trigonométrique de : \( Z_C ; Z_D ;Z_E \)
2. a) Déduire la forme trigonométrique de : \( (Z_C)^{3} ; (Z_D)^{3} ; (Z_E)^{3} \)
b) Déduire la forme algébrique de : \( (Z_C)^{3} ; (Z_D)^{3} ; (Z_E)^{3} \)
3. Montrer que : \(\overline{(\vec{DC};\vec{DE})} \equiv\frac{\pi}{3}[2\pi]\)

4. Déterminer l’ensemble des points \(Mr(Z)\) tels que : \(|Z_M - Z_C|= |Z_D - Z_E|\).

Exercice 11 : module ,argument et médiatrice d'un segment

Dans le plan complexe on considère les points A et B et C d’affixes respectifs : 

\(a = -\sqrt{2} ; b = 1 + i \;et\; c = 1 - i .\) 

1. Placer les points A et B et C .

2. Déterminer le module et un argument de \( \frac{b - a }{c - a }\) puis déduire une mesure de l ’angle \((\vec{AC};\vec{AB})\)

3. Montrer que (AO) est la médiatrice de [BC] puis déduire que  \(\overline{(\vec{AO};\vec{AB})} \equiv\frac{\pi}{8}[2\pi]\)

4. a) Écrire le nombre complexe  \( \frac{a-b}{a}\)

sous la forme trigonométrique et algébrique.

b) Déduire les valeurs de   \(\cos(\frac{\pi}{8})\;et\;\sin(\frac{\pi}{8})\)

Exercice 12 : formes algébrique ,trigonométrique de \( Z^n\)

On pose : \( g(Z) =\frac{Z }{Z^2 - 1} \)
et on considère : \( Z_1 =\frac{-\sqrt{3} - i}{2} ; Z_1 =\frac{\sqrt{3} - i}{2} \)

1. Montrer que les points suivants  sont alignés : \[ M_1(Z_1) ; M_2(Z_2) ; N(\sqrt{3}-i\frac{1}{2}) \]

2. Écrire sous la forme trigonométrique \(Z_1 \;et\; Z_2 \) puis calculer la valeur :

\((Z_1)^{60} + (Z_2)^{60} \)

3. a) Montrer que : \[ \forall Z^2\neq 1 \Leftrightarrow  \;\; g(Z)\in ıR , (Z + \bar{Z})(|Z|^2 - 1) = 0 \]
b) Déterminer C l’ensemble de points \(M(Z)\)  tel que \(g(Z)\) soit un

nombre imaginaire pur.

Exercice 13 : transformations dans  \( \mathbb{C} \)

Déterminer la nature de chacune des transformations suivantes : 

\[ Z' = Z - 3i \;;\; Z' = 1 - Z \\ Z' + i = -2(Z + i) \;;\; Z' = 3Z - 2i \]

Exercice 14 :  homothétie et translation dans  \( \mathbb{C} \)

Donner la représentation complexe de chacune de transformation suivantes :

1. T la translation de vecteur :  \( \vec{w}(2 +\frac{1}{2}i) \)

2. h l’homothétie de centre \(I(i)\) et de rapport \(k = -\frac{1}{3}\).

3. \(h\) l’homothétie de centre \( A(1 - i) \) et transforme le point \( B(-1 - 5i) \) au point \( C(2 + i) \)

Exercice 15 : nature d'une transformation dans l'ensemble des nombres comlexes \( \mathbb{C} \)

Soit T une transformation dans le plan sa représentation complexe est :

\( Z' = -5(Z + 3i)\)

1. Montrer qu’il existe un unique point 

(w) vérifiant : \( T(M) = M\)

2. Vérifier que :\(  Z' - w = -5(Z - w)\)

3. Déduire la nature de la transformation \(T\) .

Cette série est réalisé par prof Prof: Said AMJAOUCH

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