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Exercices sur les nombres complexes Partie 1 2bac pc et 2bac svt

Exercice 1 :  Formes algébrique ,trigonométrique ,conjugué,point alignés .....

(Questions indépendantes)

1. Écrire sous la forme algébrique les nombres suivants : $$Z_1 = (3 - 5i) + i(2 - i) \; et \; Z_2 =\frac{2 + i}{3i - 1}$$
2. Déterminer la partie réelle et la partie imaginaire de chacun des nombres suivants :    $$A = 3i - 5 \;;\; B = 4i + 2 - i\sqrt{2}$$
3. Développer : $Z_2 = (4 - i)² + (-2 + 3i)²$
4. Déterminer le conjugué du nombre : $Z_3 = -8i - 1$
5. Résoudre dans \mathbb{C} l’équation $(2 - i)\bar{Z}) = 2 + 3i$.
6. Calculer le module de chacun des nombres suivants : $$A = 2 - i\sqrt{3} \;;\; B = 5 - i\sqrt{3} \;;\; C = -317 \;;\; D = -25i^{35}$$
7. Soit $x\in \mathbb{R}$ . Déterminer $x$ pour que ce nombre soit un réel : $$Z = (x + i)[x + 5 - i(x - 7)]$$
8. Montrer que les points $A(6 - i)\;,\; B(-6 + 3i)\;et\; C(-18 + 7i) \;sont\; alignés$ .
9. Montrer que les points $A(1 + i)\;,\; B(3 - i)\;et\;C(4 - 2i) \;sont\; alignés$ .
   Montrer que les points suivants sont cocycliques : $$A(1 - 3i) \;,\; B(-1 + i) \;,\;C(2) \;et\; D(-2)$$
10. Montrer que les points suivants sont cocycliques. $$A(3 + 4i) \;,\; B(2 + i) \;,\; C(5 + 4i) \;et\; D(6 + 3i)$$
11. Résoudre dans C l’équation : $2Z + i\bar{Z} = 5 - 4i$
12. Dans le plan complexe ; on considère $$A(4\sqrt{3}+ 4i)\; et\; B(4\sqrt{3}- 4i)$$ a) Donner la forme trigonométrique de $$Z_A \;et\; Z_B$$ b) Calculer les distances OA et OB et AB Quelle est la nature du triangle ABO .
13. On considère les trois nombres complexes 

$$Z_1=1+ i \;et\; Z_2=\sqrt{3}+i \;et\; Z=\frac{Z_1}{Z_2}$$

• a) Écrire sous la forme trigonométrique $Z_1$ et $Z_2 \;et\; Z$ .
• b) Déduire la valeur de $\cos(\frac{\pi}{12})\;et\;\sin(\frac{\pi}{12})$

Exercice 2 :forme algébrique et forme trigonométrique des nombres complexes

1. Donner la forme algébrique les nombres complexes suivants $Z_1\; ,\; Z_2\;et\; Z_3$ $$Z_1 = (2 - i)(4 +\frac{3}{2}i)\; ;\; Z_2 =\frac{2}{3 + 2i} \\ Z_3 =\frac{3 - 2i}{2 + i} \;et\;Z_4 =\frac{2i}{3 - i}+\frac{(1 - 2i)²}{i}$$
2. Donner la forme trigonométrique les nombres complexes suivants $Z_1\; ,\; Z_2\;et\; Z_3$   : $$Z_1 = -1 - i\sqrt{3} \;et\; Z_2 = -3 + 3i \\ Z_3 = 2\sqrt{3} - 2i \;et\; Z_4 = 2 + 2i$$

Exercice 3 : polynômes dans l'ensemble $\mathbb{C}$

Soit dans C le polynôme : $P(Z) = -Z^3 + 3Z^2 - 7Z + 5$ .
1. Prouver que $\bar{P(Z)} = p(\bar{Z})$
2. Vérifier que $1 + 2i$  est une racine de $P(Z)$ puis déduire une autre racine.

Exercice 4 : Ensemble des points dans $\mathbb{C}$

Soit $Z_2\in\mathbb{C}$ Déterminer l’ensemble de points $M(Z)$ du plan complexe tels que $\frac{Z- i }{Z + 1}\in\mathbb{R}$.

Exercice 5 : triangles et mesure dans $\mathbb{C}$ 

Soient $Z_1 =\sqrt{3} + i \;et\; Z_2 = -2i$

1. Écrire $Z_1\;et\;Z_2$ sous la forme trigonométrique.
2. Calculer $(Z_2)^{18} \;et\; (Z_1)^{18}$ puis déduire la valeur de : $(Z_2)^{18} + (Z_1)^{18}$.
3. Soit le plan complexe rapporté à un repère orthonormé $(O;\vec{u};\vec{u})$
4. on considère les points $A(Z_1) \;et\; B(Z_2)$ .

• a) Montrer que le triangle $OAB$ est isocèle.
• b) Déterminer une mesure de $(\vec{OA};\vec{OB})$ .

Exercice 6 : Application forme trigonométrique ,argument dans $\mathbb{C}$ 

1. Développer :$(\sqrt{2} + 2i)²$
2. Déterminer la forme trigonométrique de $Z_1 = 1 - i$.
3. Soit $Z_2 = 1 +\sqrt{2} + i$ montrer que :$Z_1.Z_2 =\sqrt{2}.\bar{Z_2}$
4. Déduire que : $arg(Z_1) + 2arg(Z_2)\equiv[2\pi ]$
5. Déterminer un argument du nombre$Z_2$

Exercice 7 : forme trigonométrique  et nature triangle . 

1. Soit $Z_1 =\sqrt{3}+1+i(\sqrt{3}-1) \;et\; Z_2 =\sqrt{3}-1+i(\sqrt{3}+1)$
Montrer que : $Z_1^{2} = 4(\sqrt{3} + i)\; et \;que \;Z_2 = i\bar{Z_1}$
2. a) Écrire sous la forme trigonométrique : 4(\sqrt{3} + i)
b) Déduire la forme trigonométrique de : $Z_1 \;et\; Z_2$ .
3. On considère les points $A(Z_1)\; et \; B(Z_2)$
Calculer $arg(\frac{Z_1}{Z_2})$
déduire que le triangle $OAB$ est équilatéral.

Exercice 8 : Ensemble des ponits et nature triangle .

Soient A ; B ; C quatre points du plan complexe : d’affixes respectifs $$Z_A = 1 ; Z_B = -\frac{1}{2}+\frac{i\sqrt{3}}{2}; Z_C =  -\frac{1}{2}-\frac{i\sqrt{3}}{2}$$

1. Déterminer une mesure de l’angle $\widehat{\vec{AB};\vec{AC}}$ , Quelle est la nature du triangle $ABC$ ? Justifier votre réponse.

2. Déterminer l’ensemble des points $Mr(Z)$ tels que : $|Z_M - Z_C|= |Z_M - Z_B|$.

Exercice 9 : argument de $\frac{Z_1}{Z_2}$

Soient : $Z_0 = 1 - i$

$Z_1= \frac{\sqrt{3}+1}{2}+i\frac{\sqrt{3}-1}{2}\;et\;Z_2= \frac{\sqrt{3}-1}{2}+i\frac{\sqrt{3}+1}{2}$

1. Montrer que : $$\frac{Z_2}{Z_0} = -\frac{1}{2}+ i\frac{\sqrt{3}}{2} \;et \;que\; :\; Z_1 = i\bar{Z_2}$$
2. Déterminer un argument de  $\frac{Z_2}{Z_0}$  puis déduire un argument de  $Z_1$  et un argument de  $Z_2$  .

Exercice 10 : formes algébrique ,trigonométrique et ensemble des points

Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé, on considère les points :
$$M(Z);C(-1);D(\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i);E(-1 - i\sqrt{3})$$
1. Déterminer la forme trigonométrique de : $Z_C ; Z_D ;Z_E$
2. a) Déduire la forme trigonométrique de : $(Z_C)^{3} ; (Z_D)^{3} ; (Z_E)^{3}$
b) Déduire la forme algébrique de : $(Z_C)^{3} ; (Z_D)^{3} ; (Z_E)^{3}$
3. Montrer que : $\overline{(\vec{DC};\vec{DE})} \equiv\frac{\pi}{3}[2\pi]$

4. Déterminer l’ensemble des points $Mr(Z)$ tels que : $|Z_M - Z_C|= |Z_D - Z_E|$.

Exercice 11 : module ,argument et médiatrice d'un segment

Dans le plan complexe on considère les points A et B et C d’affixes respectifs : 

$a = -\sqrt{2} ; b = 1 + i \;et\; c = 1 - i .$ 

1. Placer les points A et B et C .

2. Déterminer le module et un argument de $\frac{b - a }{c - a }$ puis déduire une mesure de l ’angle $(\vec{AC};\vec{AB})$

3. Montrer que (AO) est la médiatrice de [BC] puis déduire que  $\overline{(\vec{AO};\vec{AB})} \equiv\frac{\pi}{8}[2\pi]$

4. a) Écrire le nombre complexe  $\frac{a-b}{a}$

sous la forme trigonométrique et algébrique.

b) Déduire les valeurs de   $\cos(\frac{\pi}{8})\;et\;\sin(\frac{\pi}{8})$

Exercice 12 : formes algébrique ,trigonométrique de $Z^n$

On pose : $g(Z) =\frac{Z }{Z^2 - 1}$
et on considère : $Z_1 =\frac{-\sqrt{3} - i}{2} ; Z_1 =\frac{\sqrt{3} - i}{2}$

1. Montrer que les points suivants  sont alignés : $$M_1(Z_1) ; M_2(Z_2) ; N(\sqrt{3}-i\frac{1}{2})$$

2. Écrire sous la forme trigonométrique $Z_1 \;et\; Z_2$ puis calculer la valeur :

$(Z_1)^{60} + (Z_2)^{60}$

3. a) Montrer que : $$\forall Z^2\neq 1 \Leftrightarrow  \;\; g(Z)\in ıR , (Z + \bar{Z})(|Z|^2 - 1) = 0$$
b) Déterminer C l’ensemble de points $M(Z)$  tel que $g(Z)$ soit un

nombre imaginaire pur.

Exercice 13 : transformations dans  $\mathbb{C}$

Déterminer la nature de chacune des transformations suivantes : 

$$Z' = Z - 3i \;;\; Z' = 1 - Z \\ Z' + i = -2(Z + i) \;;\; Z' = 3Z - 2i$$

Exercice 14 :  homothétie et translation dans  $\mathbb{C}$

Donner la représentation complexe de chacune de transformation suivantes :

1. T la translation de vecteur :  $\vec{w}(2 +\frac{1}{2}i)$

2. h l’homothétie de centre $I(i)$ et de rapport $k = -\frac{1}{3}$.

3. $h$ l’homothétie de centre $A(1 - i)$ et transforme le point $B(-1 - 5i)$ au point $C(2 + i)$

Exercice 15 : nature d'une transformation dans l'ensemble des nombres comlexes $\mathbb{C}$

Soit T une transformation dans le plan sa représentation complexe est :

$Z' = -5(Z + 3i)$

1. Montrer qu’il existe un unique point 

(w) vérifiant : $T(M) = M$

2. Vérifier que :$Z' - w = -5(Z - w)$

3. Déduire la nature de la transformation $T$ .

Cette série est réalisé par prof Prof: Said AMJAOUCH

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