Cour et Exercice Corrigés mathématique tronc commun bac international-mathsbiof دروس و تمارين الرياضيات الجدع مشترك علمي بالغرنسية

Les nombres complexes (2ème partie) 2Bac SP & SVT

1) Résolution des équations du second degré à une inconnue dans $\mathbb{C}$ :
Les racines carrées d’un nombres réel dans $\mathbb{C}$
L’équation $az² + bz + c = 0$ dans $\mathbb{C}$2) Notation exponentielle :
La forme exponentielle d’un nombre complexe
Propriétés
Formules d’Euler3) Représentation complexe d’une rotation :
résolution des équations du second degré à une inconnue dans $\mathbb{C}$
Les racines carrées d’un nombres réel dans $\mathbb{C}$
L’équation $az² + bz + c = 0$ dans $\mathbb{C}$2) Notation exponentielle des nombres complexe :
2)La forme exponentielle d’un nombre complexe
Propriétés
Formules d’Euler

3) Représentation complexe d’une rotation

1) Résolution des équations du second degré $az^2+bz+c=0$ à une inconnue dans $\mathbb{C}$ 

Définition :

Soit a un nombre réel.
On dit que le nombre complexe Z est une racine carrée de a si Z² = a.

Propriété :
Tout nombre réel non nul admet deux racines carrées dans $\mathbb{C}$.

1. Si a > 0 les deux racines carrées sont :  $\sqrt{a} \;et\; -\sqrt{a}.$
2. Si a < 0 les deux racines carrées sont : $i\sqrt{a} \;et\; -i\sqrt{a}.$

Exemple :
Les racines carrées de 3 sont : $\sqrt{3} \;et\; -\sqrt{3}.$
Les racines carrées de -5 sont : $i\sqrt{5} \;et\; -i\sqrt{5}.$

Théorème :
On considère l’équation (E) :  $az² + bz + c = 0$  dans C avec a ; b ; c des
nombres réels et  $a \neq0$  $$\Delta  = b^{2} - 4ac$$

1. Si $\Delta =0$ l’équation (E) admet une unique solution : $Z_0 = \frac{-b}{2a }$ .
2. Si $\Delta >0$ l’équation (E) admet deux solutions réels : $$Z_1 =\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a } et Z_2 =\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a }$$
3. Z2 = -b-p
   2a .
4. Si $\Delta <0$ l’équation (E) admet deux solutions complexes conjuguées :$Z_1 =\frac{-b-i\sqrt{\Delta }}{2a } et Z_2 =\frac{-b+i\sqrt{\Delta }}{2a }$

Remarques :

• Si $\Delta =0$ Alors $az² + bz + c = 0 = a(z + \frac{b}{2a})^{2}$
• Si $\Delta \neq 0$ Alors $az² + bz + c = 0= a(z - z_1) (z - z_2)$
• Si $\Delta >0$Alors $z_1.z_2 = \frac{c}{a} \;et\; z_1 + z_2 = -\frac{b}{a}$

Exemples et Applications :

Résoudre ces équations suivantes  dans l'ensemble $\mathbb{C}$

1. $z² + z + 1 = 0$
2. $z² -4z + 29 = 0$
3. $z² -2z + 4 = 0$
4. $z² -2(\sqrt{2}+\sqrt{6})z + 16 = 0$

2) Notation exponentielle d'un nombres complexe $z$

Soit $\theta \in\mathbb{R}$  ,On note par $e^{i\theta}$ tout nombre complexe de module 1 et d’argument $\theta$ .

$$e^{i\theta} = cos(\theta) + i sin(\theta)=[1;\theta ]$$

Exemples et Applications :

• $\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}=e^{i\frac{\pi }{3}}$
• $i =e^{i\frac{\pi }{2}}$
• $\frac{-1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}=........$
• $\frac{-\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}=........$

Propriété :

Pour tout  $\theta$ et $\theta'$ dans $\mathbb{R}$,et pour tout entier naturel n,On a :

•  $arg (e^{i\theta}) \equiv \theta [2\pi ] \;et\; | e^{i\theta} |= 1$.
•  $\bar{e^{i\theta}} = e^{-i\theta}  \;et\; \frac{e^{i\theta}}{e^{i\theta'}} = e^{i(\theta-\theta')}  \;et\;  e^{i\theta}.e^{i\theta'} = e^{i(\theta+\theta')}$.
• ${(e^{i\theta })}^{n}= e^{in\theta}$  (Formule de Moivre).

Remarque :
La formule de Moivre peut s’écrire sous la forme :
${(cos(\theta) + isin(\theta ))}^{n} = cos(n \theta ) + i sin(n \theta )$

Définition :
Soit z un nombre complexe non nul de module r et d’argument $\theta$.
L’écriture : $z = re^{i\theta }$
s’appelle la forme exponentielle de$z$.

Exemples et Applications :
Écrire les nombres suivants sous la forme exponentielle :

• $z_1 = 2 + 2\sqrt{3}i$
• $z_2 = 5 - 5i$
• $z_3 =\sqrt{6} + i\sqrt{2}$
• $z_4 ={(-1 + i\sqrt{3})}^{3}$
• $\frac{-1+i\sqrt{3}}{-1-i }$      (Formules d’Euler)

Propriété :
Pour tout nombre réel  on a :

• $cos(\theta ) =\frac{e^{i\theta } + e^{-i\theta }}{2}$
• $sin(\theta ) =\frac{e^{i\theta } - e^{-i\theta }}{2i}$

Exemples et Applications :
Linéariser les expressions suivantes :

• $cos²(x)$
• $sin^2(x)$
• $sin^3(x)$
• $cos^4(x)$
• $cos^4(x).sin^4(x)$

3) Représentation complexe d’une rotation de centre $\Omega$

Le plan complexe set rapporté à un repère orthonormé $(O;\vec{i};\vec{j})$ .

Propriété :
Soit $\Omega$ un point complexe du plan $P$ d’affixe $\omega \in\mathbb{C}$ et $\theta$ un nombre réel.
ici La représentation dans l'ensemble des nombres complexes de la rotation  $R$ de centre $\Omega$ et d’angle $\theta$ est :

$$z' = e^{i\theta}( z -\omega) + \omega$$
 (Démonstration " En Exercice " )

Exercice :

Soit $R$ la rotation de centre $\Omega(1-i)$ et d’angle ( \theta =\frac{\pi }{6} \) .
A un point dans le plan d’affixe $z_A = 2 + i$

• Donner la représentation dans $\mathbb{C}$  "complexe" de la rotation $R$ .
• Déterminer $z_A'$ l’affixe du point $A'$ l’image de A par $R$ .

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