Cour et Exercice Corrigés mathématique tronc commun bac international-mathsbiof دروس و تمارين الرياضيات الجدع مشترك علمي بالغرنسية

Les nombres complexes (2ème partie) 2Bac SP & SVT

1) Résolution des équations du second degré à une inconnue dans \( \mathbb{C} \) :
Les racines carrées d’un nombres réel dans \( \mathbb{C} \)
L’équation \( az² + bz + c = 0 \) dans \( \mathbb{C} \)2) Notation exponentielle :
La forme exponentielle d’un nombre complexe
Propriétés
Formules d’Euler3) Représentation complexe d’une rotation :
résolution des équations du second degré à une inconnue dans \( \mathbb{C} \)
Les racines carrées d’un nombres réel dans \( \mathbb{C} \)
L’équation \( az² + bz + c = 0 \) dans \( \mathbb{C} \)2) Notation exponentielle des nombres complexe :
2)La forme exponentielle d’un nombre complexe
Propriétés
Formules d’Euler

3) Représentation complexe d’une rotation

1) Résolution des équations du second degré \( az^2+bz+c=0 \) à une inconnue dans \( \mathbb{C} \) 

Définition :

Soit a un nombre réel.
On dit que le nombre complexe Z est une racine carrée de a si Z² = a.

Propriété :
Tout nombre réel non nul admet deux racines carrées dans \( \mathbb{C} \).

1. Si a > 0 les deux racines carrées sont :  \( \sqrt{a} \;et\; -\sqrt{a}. \)
2. Si a < 0 les deux racines carrées sont : \( i\sqrt{a} \;et\; -i\sqrt{a}. \)

Exemple :
Les racines carrées de 3 sont : \( \sqrt{3} \;et\; -\sqrt{3}. \)
Les racines carrées de -5 sont : \( i\sqrt{5} \;et\; -i\sqrt{5}. \)

Théorème :
On considère l’équation (E) :  \( az² + bz + c = 0 \)  dans C avec a ; b ; c des
nombres réels et  \( a \neq0 \)  \[ \Delta  = b^{2} - 4ac \]

1. Si \( \Delta =0 \) l’équation (E) admet une unique solution : \( Z_0 = \frac{-b}{2a }\) .
2. Si \( \Delta >0 \) l’équation (E) admet deux solutions réels : \[ Z_1 =\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a } et Z_2 =\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a } \]
3. Z2 = -b-p
   2a .
4. Si \( \Delta <0 \) l’équation (E) admet deux solutions complexes conjuguées :\( Z_1 =\frac{-b-i\sqrt{\Delta }}{2a } et Z_2 =\frac{-b+i\sqrt{\Delta }}{2a } \)

Remarques :

• Si \( \Delta =0 \) Alors \( az² + bz + c = 0 = a(z + \frac{b}{2a})^{2} \)
• Si \( \Delta \neq 0 \) Alors \( az² + bz + c = 0= a(z - z_1) (z - z_2) \)
• Si \( \Delta >0 \)Alors \( z_1.z_2 = \frac{c}{a} \;et\; z_1 + z_2 = -\frac{b}{a} \)

Exemples et Applications :

Résoudre ces équations suivantes  dans l'ensemble \( \mathbb{C} \)

1. \( z² + z + 1 = 0 \)
2. \( z² -4z + 29 = 0 \)
3. \( z² -2z + 4 = 0 \)
4. \( z² -2(\sqrt{2}+\sqrt{6})z + 16 = 0 \)

2) Notation exponentielle d'un nombres complexe \( z\)

Soit \( \theta \in\mathbb{R} \)  ,On note par \( e^{i\theta} \) tout nombre complexe de module 1 et d’argument \( \theta \) .

\[ e^{i\theta} = cos(\theta) + i sin(\theta)=[1;\theta ] \]

Exemples et Applications :

• \( \frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}=e^{i\frac{\pi }{3}} \)
• \( i =e^{i\frac{\pi }{2}} \)
• \( \frac{-1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}=........ \)
• \( \frac{-\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}=........ \)

Propriété :

Pour tout  \( \theta  \) et \( \theta' \) dans \( \mathbb{R} \),et pour tout entier naturel n,On a :

•  \( arg (e^{i\theta}) \equiv \theta [2\pi ] \;et\; | e^{i\theta} |= 1 \).
•  \(  \bar{e^{i\theta}} = e^{-i\theta}  \;et\; \frac{e^{i\theta}}{e^{i\theta'}} = e^{i(\theta-\theta')}  \;et\;  e^{i\theta}.e^{i\theta'} = e^{i(\theta+\theta')}  \).
• \( {(e^{i\theta })}^{n}= e^{in\theta} \)  (Formule de Moivre).

Remarque :
La formule de Moivre peut s’écrire sous la forme :
\( {(cos(\theta) + isin(\theta ))}^{n} = cos(n \theta ) + i sin(n \theta ) \)

Définition :
Soit z un nombre complexe non nul de module r et d’argument \( \theta \).
L’écriture : \( z = re^{i\theta } \)
s’appelle la forme exponentielle de\( z \).

Exemples et Applications :
Écrire les nombres suivants sous la forme exponentielle :

• \( z_1 = 2 + 2\sqrt{3}i \)
• \( z_2 = 5 - 5i \)
• \( z_3 =\sqrt{6} + i\sqrt{2} \)
• \( z_4 ={(-1 + i\sqrt{3})}^{3} \)
• \( \frac{-1+i\sqrt{3}}{-1-i } \)      (Formules d’Euler)

Propriété :
Pour tout nombre réel  on a :

• \( cos(\theta ) =\frac{e^{i\theta } + e^{-i\theta }}{2} \)
• \( sin(\theta ) =\frac{e^{i\theta } - e^{-i\theta }}{2i} \)

Exemples et Applications :
Linéariser les expressions suivantes :

• \( cos²(x) \)
• \(  sin^2(x) \)
• \( sin^3(x) \)
• \(  cos^4(x) \)
• \( cos^4(x).sin^4(x) \)

3) Représentation complexe d’une rotation de centre \( \Omega \)

Le plan complexe set rapporté à un repère orthonormé \( (O;\vec{i};\vec{j}) \) .

Propriété :
Soit \( \Omega \) un point complexe du plan \( P \) d’affixe \( \omega \in\mathbb{C} \) et \( \theta \) un nombre réel.
ici La représentation dans l'ensemble des nombres complexes de la rotation  \( R \) de centre \( \Omega \) et d’angle \( \theta \) est :

\[z' = e^{i\theta}( z -\omega) + \omega \]
 (Démonstration " En Exercice " )

Exercice :

Soit \( R \) la rotation de centre \( \Omega(1-i) \) et d’angle ( \theta =\frac{\pi }{6} \) .
A un point dans le plan d’affixe \( z_A = 2 + i \)

• Donner la représentation dans \( \mathbb{C} \)  "complexe" de la rotation \( R \) .
• Déterminer \( z_A' \) l’affixe du point \( A' \) l’image de A par \( R \) .

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