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Exercice sur Etude de fonction 2bac pc et 2bac svt preparer a l'examen national sute mathsbiof

Problème 1 :  étude de la fonction \( f(x)=\frac{3}{2} e^{2x}-e^x-2x-4 \)

On considère la fonction numérique \( f \) définie sur\( \mathbb{ R} \) par : \( f(x)=\frac{3}{2} e^{2x}-e^x-2x-4 \)
Soit \((C_f )\) la courbe représentative de \(f\) dans un repère orthogonal \((O,\vec{i},\vec{j} )\) avec \( ‖\vec{i}‖=2cm \;et \; ‖\vec{j} ‖=1cm \)

1. a) Vérifier que \( f(x)=e^x (\frac{3}{2} e^x-1)-2x-4\) pour tout \(x\in \mathbb{ R}\)
   b) Calculer \( lim_{x→+∞}f(x) \) et \( lim_{x→+∞} \frac{f(x)}{x} \) puis déduire une branche infinie de \((C_f )\) au voisinage de \(+∞\)
2. a) Montrer que la droite\( (D) \)d’équation \(y=-2x-4\) est asymptote à la courbe \((C_f )\) au voisinage de \( -∞\)
   b) Étudier la position relative de la courbe \((C_f )\) et la droite \( (D)\)
3. a) Montrer que \( f'(x)=(3e^x+2)(e^x-1) \)pour tout \(x\in \mathbb{ R}\)
   b) Dresser le tableau de variations de \( f\) sur \(\mathbb{ R}\)
   c) En déduire que \( \frac{3}{2} e^{2x}-e^x ≥ 2x+\frac{1}{2}\) pour tout \(x\in \mathbb{ R}\)
   d) Montrer qu’il existe un réel unique \(\alpha \) de l’intervalle \( ]0,8;0,9[ \) tel que \( f(\alpha)=0\)
4. a) Montrer que \(f''(x)=e^x (6e^x-1)\) pour tout \(x\in \mathbb{ R}\)
   b) Montrer que la courbe \((C_f )\) admet un point d’inflexion unique à déterminer
5. a) Résoudre dans IR l’équation \( 3e^{2x}-e^x-4=0 \)
   b) En déduire qu’il existe un unique point \(A\) de la courbe \((C_f )\) dont la tangente à \((C_f )\) en ce point est parallèle à la droite d’équation \( y=2x \)
6. Construire, dans le même repère \((O,\vec{i},\vec{j} )\) , la droite \( (D) \), la courbe \((C_f )\) et la tangente à \((C_f )\) au point \(A\) (On admettra que l’équation \(f(x)=0\) admet une autre solution \(β\) telle que \( -2,1<β<-2 \) )
7. Déterminer graphiquement le signe de la fonction \(f\)
8. a) Montrer que \( \int_0^{ln⁡2}( \frac{3}{2} e^{2x}-e^x)dx = \frac{5}{4} \)
   b) Calculer, en cm^2, l’aire du domaine plan limité par la courbe \((C_f )\) la droite \((D)\) , l’axe des ordonnées et la droite d’équation \( x=ln⁡(2)\)

Problème 2 :  partie 1 et 2 : étude des fonctions \( \\ g(x)=2\sqrt{x}-2-ln⁡x \;et\; f(x)=x-\sqrt{x}ln⁡x\;,\;x>0\;, f(0)=0 \) et partie 3: une suite numérique \( u_0=\frac{3}{2} \; et \; u_{n+1}= u_n-\sqrt{u_n }ln⁡( u_n) \) .

Partie I :
Soit \(g\) la fonction numérique définie sur \(]0,+∞[\) par : \(g(x)=2\sqrt{x}-2-ln⁡x \)

On considère ci-contre le tableau de variations de la fonction g sur \(]0,+∞[\)

1. Calculer \(g(1)\)
2. En déduire à partir du tableau le signe de la fonction \(g\)

Partie II :

On considère la fonction numérique \(f\) définie sur \(]0,+∞[\) par :
\[ \left\{\begin{matrix}f(x)=x-\sqrt{x}ln(x)\;\; ,x>0\\f(0)=0\end{matrix}\right. \]

Soit \((C_f )\) la courbe représentative de \(f\)dans un repère orthonormé \((O,\vec{i},\vec{j})\) (unité :\( 2cm\))

1. a) Montrer que \(lim_{x→0(x>0)}\sqrt{x}ln⁡x = 0 \) (on pourra remarquer que \(\sqrt{x}ln⁡x=2\sqrt{x}ln⁡(\sqrt{x})\)  )
   b) Montrer que\(f\)est continue à droite en 0
2. a) Vérifier que \( \frac{ln⁡x}{\sqrt{x}}=2\frac{ln⁡(\sqrt{x})}{\sqrt{x}} \) pour tout \(x\) de \( ]0,+∞[\) et en déduire que \(lim_{x→+∞}\frac{ln⁡x}{\sqrt{x}}=0 \)
   b) Vérifier que \( f(x)=x(1-\frac{ln⁡x}{\sqrt{x}} \) pour tout x de \( ]0,+∞[\) puis calculer \( lim_{x→+∞}f(x) \)
   c) Montrer que la courbe \( (C_f )\) admet une branche parabolique de direction la droite \((D)\) d’équation \(y=x \)au voisinage de \(+∞\)
   d) Montrer que la courbe \( (C_f )\) est au dessous de la droite \((D)\) sur l’intervalle \( [1,+∞[\)
3. a) Montrer que \( lim_{x→0_(x>0)}\frac{(f(x))}{x} =+∞ \) puis\((\mathbb{N})\)terpréter géométriquement le résultat
   b) Montrer que \( f'(x) = \frac{g(x)}{2\sqrt{x}} \) pour tout \(x\) de \( ]0,+∞[\) puis calculer \( f'(1)\) c) Dresser le tableau de variations de \(f\) sur \( [0,+∞[\)
4. Construire la droite \((D)\) et la courbe \( (C_f )\)dans le repère \((O,\vec{i},\vec{j})\)
5. a) Vérifier que \( H:x ↦\frac{2}{3}x\sqrt{x}(ln⁡x-\frac{2}{3})\) est une fonction primitive de la fonction \( h:x↦\sqrt{x}ln⁡x \) sur \( ]0,+∞[\)
   b) Calculer, en \(cm^2\) , l’aire du domaine plan limité par la courbe \( (C_f )\), la droite \((D)\) et les droites d’équations \( x=1 \; et\; x=e\)
6. a) Montrer que la fonction \(f\) admet une fonction réciproque \(f^{-1}\) définie sur \( [0,+∞[\)
   b) Construire dans le même repère \((O,\vec{i},\vec{j})\) la courbe représentative de la fonction \(f^{-1}\)
   c) Calculer \(f(e)\) puis montrer que la fonction \( f^{-1}\) est dérivable en \( e-sqrt{e} \)
   d) Calculer \(  (f^{-1})'(e-\sqrt{e})\)

Partie III :

Soit \((u_n )\) la suite numérique définie par :\( u_0=\frac{3}{2} \; et \; u_{n+1}= u_n-\sqrt{u_n }ln⁡( u_n) \) pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}\)

1. Montrer par récurrence que \( u_n≥1 \) pour tout n de \(\mathbb{N}\)
2. Montrer que la suite \((u_n )\) est décroissante et en déduire qu’elle est convergente.
3. Déterminer la limite de la suite \((u_n )\)
4. Déduire la limite de la suite\( (v_n ) \)définie par: \( v_n = f^{-1}(u_n ) \) pour tout n de \(\mathbb{N}\)